[고전역학 | Mechanics] 09. 운동량과 충격량

 

 

# 질량 중심

계의 운동을 기술하기 위해 입자계의 질량 중심을 다음과 같이 정의한다.

물체나 물체들로 이루어진 계의 질량 중심은 모든 질량이 그 점에 모여있으며, 외력이 모두 그 점에 작용하는 것처럼 움직이는 특별한 점을 말한다.

 

 

질량이 각각 m₁, m₂인 두 입자의 분리 거리가 d일 때, 계의 질량 중심 좌표를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

 

m₁ + m₂의 값은 총 질량 M으로 표현할 수 있으며, 해당 식을 n개의 입자가 x축 위에 놓여 있는 경우로 확장할 수 있다.

 

 

 

 

 3차원 공간상의 질량 중심으로 확장하여 표현할 수 있다.

즉,

 

 

 

또한 질량 중심은 위치 벡터를 활용한 수식으로도 표현할 수 있다.

입자의 위치는 i번째 입자에 대해서

 

 

와 같이 표현할 수 있으며,

 

 

이므로

 

 

이다.

 

 

 

만약 입자의 개수가 무수히 많은 경우, 고체와 같이 물질이 연속적으로 분포하는 경우의 질량 중심을 계산할 때는 입자들을 미분 질량 요소 dm으로 표기하여 계산한다.

 

 

여기서 M은 물체의 질량이다.

 

물질이 연속적으로 분포하는 경우, 물질은 언제나 균일한 분포를 갖는다고 가정한다.

즉, 물체의 밀도 ρ는 물체의 모든 점에서 같으며, ρ = dm/dV = M/V의 값을 갖는다.

여기서 dV는 질량 요소 dm이 차지하는 부피이고, V는 물체의 전체 부피를 말한다.

위 식으로부터 dm = (M/V)dV이므로 이를 질량 중심 식에 대입하면,

 

이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 운동량과 충격량

서로 다른 n개의 입자로 이루어진 입자계에서, 각각의 입자의 운동이 아닌 입자계 질량 중심의 운동에 대해 생각해본다.

 

n개의 입자들로 이루어진 계에 대한 벡터방정식은 다음과 같다.

 

 

 

위 식을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

 

 

위 식을 시간에 대해 한번 더 미분하면 다음과 같다.

 

뉴턴의 제 2법칙으로부터 위 식은

 

 

와 같다.

 

위 식의 우변에 있는 힘은 계의 입자들이 다른 입자에 가하는 내력과 계의 외부에 가하는 외력으로 이루어져 있다. 뉴턴의 제 3법칙에 의해 다른 입자에 가하는 내력들은 작용-반작용 쌍을 이루어 서로 상쇄된다.

 

즉, 남는 것은 계에 작용하는 모든 외력의 벡터 합, 곧 알짜 힘 이므로

 

와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 M은 계의 총질량이다.

계가 움직일 때 질량이 계에서 빠져나가거나 계로 들어오지 않는다고 가정하며, 이러한 계를 닫힌계라고 한다.

 

 

뉴턴의 제 2법칙 F=ma에서 a를 dv/dt와 같이 나타낼 수 있다.

 

 

여기에서 질량 m은 일정한 값이므로 미분 기호 안에 넣을 수 있으며, 이로부터 입자에 작용하는 알짜 힘은 입자의 질량과 속도의 곱의 시간 변화율과 같음을 알 수 있다.

이 곱을 운동량(momentum) 또는 선 운동량(linear momentum)이라고 한다.

 

즉,

 

 

와 같이 나타낼 수 있다. 이때 입자의 질량 m과 속력 v가 클수록 운동량의 크기 mv는 큰 값을 가지며, 운동량은 입자의 속도와 같은 방향을 갖는 벡터량이다.

 

어떤 입자의 운동량은 x, y, z 각각의 성분으로 나타낼 수 있다. 즉,

 

 

이다. 운동량의 SI 단위로는 질량의 단위와 속력을 곱한 값으로 kg⦁m/s를 사용한다.

또한 운동량을 정의한 식을 뉴턴의 제 2법칙에 대입하여

 

 

 

와 같은 식을 얻을 수 있다. 따라서, 입자에 작용하는 알짜 힘은 시간에 따른 입자의 운동량 변화율과 같다. 운동량의 급격한 변화는 큰 알짜힘을 필요로 하며, 운동량의 완만한 변화는 적은 알짜힘을 필요로 한다.

 

 

 

 

 

일정한 알짜힘이 t₁에서 t₂까지 시간 간격 ⧍t 동안 입자에 작용한다고 할 때, 알짜힘의 충격량(impulse)을 다음과 같이 정의한다.

 

 

충격량은 벡터량으로서 그 방향은 알짜힘의 방향과 같으며, SI 단위로는 뉴턴⦁초(N⦁s)를 사용한다. 이때, 1N = 1kg⦁m/s²이므로 충격량은 kg⦁m/s으로도 나타낼 수 있으며, 이는 운동량의 단위와 같은 단위이다.

 

 

 

알짜힘이 일정할 때, 운동량의 변화량도 일정하다.

운동량의 변화량은 총운동량 변화를 시간 간격 t₂ - t₁으로 나눈 값과 같다.

 

 

 

양 변에 t₂ - t₁를 곱하면,

 

즉,

 

 

 

이며 이를 충격량-운동량 정리(impulse-momentum theorem)라고 한다.

이는 어떤 시간 간격 동안 발생하는 입자의 운동량 변화는 그 시간 동안 입자에 작용하는 알짜힘의 충격량과 같음을 의미한다.

 

 

충격량-운동량 정리는 가해진 힘이 일정하지 않더라도 성립한다.

이를 보이기 위해, 뉴턴의 제 2법칙

 

의 양변을 시간에 대해 t₁부터 t₂까지 적분한다.

 

 

위 식의 좌변은 이 시간 간격 동안의 알짜힘에 의한 충격량과 같다.

 

 

따라서 충격량-운동량 정리는 알짜힘이 시간에 따라 변하는 경우에도 성립함을 알 수 있다.

 

 

 

알짜힘이 일정하지 않는 경우,

 

 

와 같이 평균 알짜힘을 사용하여 충격량을 정의할 수 있다.

알짜힘을 시간의 함수로 나타낸 그래프는 다음과 같다.

 

 

알짜힘-시간 그래프에서 곡선 아래의 넓이는 알짜힘의 충격량과 같은 값을 가지며,

이는 평균 알짜힘이 시간 t₁에서 t₂동안 작용하는 충격량과 같다.

 

 

또한 위와 같이 힘-시간 그래프의 곡선 아래의 면적이 서로 같으면 짧은 시간 동안 작용하는 큰 힘의 충격량과 긴 시간 동안 작용하는 작은 힘의 충격량은 같다.

 

 

 

 

 

 

 

충격량과 운동량은 둘 다 방향을 갖는 벡터량이지만, 어떤 문제에서는 성분형태를 사용하기도 한다.

 

 

 

 

충격량-운동량 정리에 의해 입자의 운동량 변화는 충격량 때문이며, 충격량은 알짜힘이 물체에 작용하는 시간에 의존한다는 것을 알 수 있다. 반면 일-에너지 정리는 입자에 일이 행해질 때, 운동 에너지가 변하는 것을 의미한다. 전체 일은 알짜힘이 작용하는 거리에 의존한다.

 

위 두 가지의 정리를 구분하여 이해하기 위해 다음의 상황을 가정한다.

t₁ 일 때 정지 상태에서 출발하는 입자를 고려한다. 입자의 초기 운동량은

 

 

이고, 초기 운동 에너지는 정지 상태에서 출발하므로

 

 

이다.

일정한 알짜힘이 시간 t₁에서 t₂까지 입자에 작용한다면, 이 시간 동안 입자는 힘과 같은 방향으로 거리 s만큼 움직인다.

충격량-운동량 정리로부터 시간 t₂ 일 때의 입자의 운동량은

 

 

 

와 같다. 여기에서

 

 

은 입자에 작용하는 충격량이다.

따라서 입자의 운동량은 입자를 정지 상태에서 현재 속력까지 가속시키는 충격량과 같으며, 충격량은 입자를 가속시키는 알짜힘과 가속하는 데 걸리는 시간의 곱이다. 반면, t₂ 일 때의 입자의 운동 에너지는 K₂ = W = Fs, 즉 입자가 정지 상태에서 가속될 때 행해진 전체 일이며, 전체 일은 알짜힘과 입자를 가속시키는데 필요한 거리의 곱과 같다.

 

 

 

 

 

다음으로 물체가 동일한 충돌을 여러 번 반복할 때 해당 물체에 작용하는 힘에 대해서 생각한다.

이러한 경우, 여러 번의 충돌 동안 벽에 가해지는 평균적인 힘을 고려하여 계산한다.

시간 간격 ⧍t 동안 충돌하는 발사체의 수를 n이라고 할 때, 각 발사체의 선운동량은 충돌 후 ⧍p만큼 변한다.

충격량은 선운동량의 변화와 반대 방향이므로 J는 –n⧍p이다.

 

충격량은 평균 힘과 시간 간격의 곱으로 나타낼 수 있으므로,

 

이다. 이때, n/⧍t는 시간 간격당 물체가 충돌하는 횟수의 비율을 나타낸다.

 

물체가 충돌하자마자 정지한다면, ⧍v는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

만일 물체가 충돌 후 속력 변화 없이 곧바로 튕겨 나간다면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

시간 간격 ⧍t 동안 질량 ⧍m = nm이 충돌하였으므로,

 

⧍m/⧍t는 시간 간격당 충돌하는 질량 비율을 나타낸다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 운동량 보존

임의의 계에서 계의 입자가 다른 입자에 작용하는 힘을 내력이라고 하며, 계 밖의 어떤 물체가 계의 일부에 작용하는 힘을 외력이라고 한다. 어떤 입자계에 작용하는 알짜 외력이 0이고, 어떤 입자도 계에 출입할 수 없을 때(닫힌계) 계의 총 알짜힘의 합은 0이다.

 

식

 

 

로부터 운동량의 변화량은 0이 되므로,

 

 

 

 

로 나타낼 수 있다. 이러한 결과를 선운동량 보존법칙이라고 하며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

 

 

또는 뉴턴의 제 3법칙으로부터 선운동량 보존 법칙을 유도할 수 있다.

 

 

외력이 작용하지 않을 때, 어떤 계에서 입자 B가 입자 A에 작용하는 힘과 입자 A가 입자 B에 작용하는 힘인 내력만이 존재한다. 따라서 두 입자의 운동량의 변화율은

 

 

와 같이 나타낼 수 있다.

이 때, 뉴턴 제 3법칙으로부터 두 힘은 언제나 크기가 가지며 방향은 반대이다.

곧,

 

이고

 

 

 

 

이다.

따라서

 

 

 

 

두 운동량의 벡터합의 변화율은 0이다. 계의 총 운동량은 각각의 운동량의 벡터합이므로

 

 

이다.

즉, 외력이 작용하지 않는 경우 계의 총 운동량은 일정하다. 만일 외력이 작용하는 경우 위 식의 좌변에 내력과 함께 포함되어야 하며, 이때 총 운동량은 일정하지 않다. 그러나 외력의 벡터합이 0이 된다면 총운동량은 일정해진다.

따라서, 계에 작용하는 외력의 벡터합이 0일 때 계의 총 운동량은 일정하다는 사실을 알 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 충돌

충돌에 의해 계의 전체 운동 에너지가 변하지 않는다면, 이러한 충돌을 탄성충돌(elastic collision)이라 한다. 운동 에너지의 일부가 열에너지, 소리 에너지 등 다른 형태로 변환되는 경우 운동 에너지가 보존되지 않으며 이를 비탄성충돌(inelastic collision)이라 한다. 비탄성충돌에서 운동 에너지의 전부가 소실되는 경우가 있다. 충돌 후 두 물체는 서로 붙어버리게 되며, 이를 완전 비탄성 충돌(completely inelastic collision)이라 한다.

 

먼저, 1차원에서의 비탄성 충돌을 가정한다.

 

 

 

충돌 전의 운동량과 충돌 후의 운동량은 동일하므로 다음과 같이 표기할 수 있다.

 

 

 

또한, 1차원 운동이므로

 

 

이다.

 

 

 

만약 물체가 완전 비탄성충돌을 하는 경우, 충돌 후 붙어버린 물체는 V의 속력으로 함께 움직인다.

 

 

 

 

따라서, 두 물체의 최종 속력은

 

 

 

이다.

 

 

 

다음으로, 1차원에서의 탄성 충돌을 가정한다. 충돌 전, 후에 선운동량 보존법칙을 적용하면

 

 

 

이다. 이때, 탄성 충돌의 경우 운동 에너지는 보존되므로 충돌 전, 후에 운동 에너지 보존법칙을 적용할 수 있다.

 

 

이므로

 

이다.

이를 식

 

 

로 나누면,

 

 

을 얻는다.

이는 두 물체가 탄성 충돌을 할 때, 충돌 전후의 상대 속도는 크기가 갖지만 부호는 반대임을 의미한다. 선운동량 보존 법칙으로부터 유도한 식과 운동 에너지 보존법칙으로부터 유도한 식을 연립하여 계산하면

 

 

을 얻을 수 있다.

 

 

 

 

마지막으로, 2차원 공간으로 확장하여 충돌을 가정해 본다.

닫힌 고립계의 경우 전체 선운동량은 보존된다. 또한, 탄성 충돌일 경우 전체 운동 에너지도 보존되므로

 

 

와 같이 나타낼 수 있다. 2차원 충돌 시, 위의 식을 xy좌표계에서 성분별로 표시하여 운동을 분석할 수 있다. 다음과 같이 스침충돌의 상황을 가정한다.

 

 

 

 

운동량 보존식을 x축 성분으로 나타내면,

 

 

이고 y축 성분으로 나타내면

 

이다. 또한 운동 에너지 보존식으로부터

 

 

을 얻을 수 있으며, 세 가지의 방정식으로부터 스침충돌의 운동을 분석할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 로켓 추진

로켓 추진과 같은 운동 상황에서 계의 총질량은 변화한다. 로켓은 대부분의 질량이 연료의 질량으로 이루어져 있으며, 로켓 추진 시 배기구로 배출된다. 따라서, 로켓이 가속되면서 질량이 변화할 때, 로켓과 연소되어 배출되는 물체 전체에 대해 뉴턴 제 2법칙을 적용해야 한다.

 

먼저 로켓의 가속도를 구하기 위해서, 항력이 존재하지 않는 우주 공간상에 로켓이 가속하는 경우를 관성기준틀에서 관찰한다고 가정한다. 이때, 로켓의 질량은 어떤 순간에서의 시간에 대한 질량 함수로 나타낼 수 있다.

 

 

 

아주 작은 시간 간격 dt동안 로켓은 M+dM의 질량(dM은 음수이다)과 v+dv의 속력을 갖는다.

관성기준틀에서 로켓 배기물의 상대 속도를 U라고 할 때, 로켓 배기물의 선운동량은 dM⦁U이고, dt만큼 시간이 지난 후 로켓의 선운동량은 (M+dM)(t+dt)이다. 계는 닫힌 고립계이므로 선운동량이 보존되며

 

 

와 같이 나타낼 수 있다.

 

로켓과 배기물 사이의 상대속력을 v`라 하면, v+dv = v` + U와 같다.

즉, U = v + dv – v`과 같이 나타낼 수 있으므로 위의 선운동량 보존식을 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

 

 

양변을 dt로 나누면

 

 

dM/dt는 로켓이 질량을 잃는 비율 –R이며, R는 연료를 소비하는 질량의 비율이다.

dv/dt는 로켓의 가속도를 나타내는 값이므로 위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

위 값은 로켓에 작용하는 알짜힘, 곧 추진력을 의미하고 추진력은 연료소비율 R과 상대속력 v’에 의존하는 값이다.

 

위의 식에서 연료가 소비됨에 따른 로켓의 속력을 구하기 위해

식

 

의 양변을 t에 대해 적분한다.

 

 

 

따라서, 로켓의 속력 식은 로켓의 속도 증가에 따른 로켓의 질량 변화에 대한 자연로그 값으로 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

참고문헌 : Young and Freedman, 대학물리학 12th ed, Haliday 일반 물리학 9th ed