[고전역학 | Mechanics] 06. 운동에너지

# 일

물체에 힘을 가하여 물체를 더 빠른 속력으로 가속하는 경우, 물체의 운동 에너지는 증가한다. 이처럼 힘을 통해 에너지가 전달되는 것을 ‘물체에 일을 한다’라고 말한다. 따라서 일이란, 물체에 가해진 힘을 통해서 외부에서 물체로 또는 물체에서 외부로 전달된 에너지를 말하며, 힘이 물체로 전달되는 경우의 에너지는 양의 값을 가지며 외부로 전달되는 경우 음의 값을 갖는다.

 

물체가 이동하는 동안 일정한 힘 F가 변위 s와 동일한 방향으로 작용할 때,

일정한 힘에 의한 일 W를 힘의 크기 F와 변위 s의 곱으로 정의한다.

 

W = Fs

 

 

일의 SI 단위는 줄(joule, J)이다.

SI 단위계에서 힘의 단위는 뉴턴이고 변위의 단위는 미터이므로 1줄은 1뉴턴-미터(N⦁m)와 같다.

 

 

 

 

 

물체에 대해서 각도 φ의 방향으로 힘 F를 가해 물체를 변위 s만큼 이동시켰을 때, 물체에 한 일을 계산한다.

 

 

힘 F를 변위 방향의 성분과 변위에 수직인 방향의 성분으로 나누어 생각한다.

 

 

힘의 수직 성분은 물체에 일을 하지 않는 성분이며, 수평 성분만이 물체를 움직이는 데 기여한다.

일은 힘의 크기와 변위의 곱으로 나타낼 수 있으므로,

 

 

이다. 이때 이동하는 동안의 힘 F와 힘의 방향 φ는 일정하다고 가정한다.

위의 식으로부터 물체에 한 일은 두 벡터의 스칼라 곱 형태로 일반화할 수 있다.

 

 

또한, 계산된 일의 값은 항상 스칼라 값을 갖게 된다.

 

 

 

힘이 변위와 같은 방향으로의 성분을 가질 때(φ가 0부터 90 사이의 값을 가질 때) cosφ는 항상 양의 값을 가지므로, 일 W도 양의 값을 갖는다.

 

그러나 힘이 변위에 반대 방향의 성분을 가질 때(φ가 90부터 180 사이의 값을 가질 때), 일 W는 음의 값을 갖는다. 이러한 경우는 뉴턴의 제 3법칙을 활용하여 이해할 수 있으며, 일반적으로 첫 번째 물체가 두 번째 물체에 음의 일을 하는 경우, 두 번째 물체는 첫 번째 물체에 같은 크기의 양의 일을 하게 된다.

 

힘을 가하였으나 물체가 이동하지 않는 경우와 힘의 방향과 이동 방향이 수직일 때, 일 W은 0의 값을 갖는다.

 

 

 

 

 

하나의 물체에 여러 개의 힘이 작용하는 경우, 각각의 힘에 대한 일을 구하여 물체에 가한 일을 계산할 수 있다. 일은 스칼라량이므로 물체에 가해진 모든 힘의 대수 합이 물체에 가한 전체 일이다.

또는, 힘들의 벡터 합 즉, 알짜힘을 계산하고 이 알짜힘에 의한 일을 계산하여 물체에 가한 일을 계산할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 일-운동 에너지 정리 

어떤 입자의 변위가 변화할 때 일이 양(+)의 값을 가지면 입자의 속력이 증가하고, 음(-)의 값을 가지면 입자의 속력이 감소하며, 일의 값이 0이면 같은 속력을 계속 유지하는 운동을 한다.

 

 

예를 들어, 다음과 같은 운동상황을 가정해본다.

마찰이 없는 지면 위에 한 물체에 힘을 가하여 물체가 미끄러질 때, 물체에 작용하는 힘은 중력 w, 수직항력 n, 물체에 가한 힘 F이다.

 

 

알짜힘 F가 +x방향으로 물체에 작용하는 힘일 때, 물체의 일정한 가속도는 F=ma로부터 구할 수 있다.

이 입자가 x₁에서 x₂로 이동하면서 변위는 s = x₂ - x₁와 같고, 속력은 v₁에서 v₂로 변화할 때, 등가속도 운동에 대한 방정식을 활용하여 방정식을 세울 수 있다.

 

 

위 식의 양변에 m을 곱한다. F=ma이므로,

 

 

 

Fs는 알짜힘 F가 한 일에 해당하므로, 입자에 작용하는 총 일과 같다.

이때, (1/2)mv²을 입자의 운동 에너지(kinetic energy)라고 부르고 K로 표시한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

# 운동 에너지

운동 에너지 K는 물체의 운동상태와 관련된 에너지이며, K = (1/2)mv² 이라 정의한다.

물체가 빨리 움직일수록 운동 에너지는 증가하며, 음이 될 수 없다. 또한 정지해 있는 경우의 운동 에너지는 0이다.

운동 에너지의 SI 단위는 줄(joule, J)이며, 질량과 속도의 단위로 나타내면 다음과 같다.

1 joule = 1 J = 1 kg⦁m²/s² = 1 N⦁m

 

일과 마찬가지로 운동 에너지도 스칼라량이다. 운동 에너지는 입자의 질량과 속력에만 의존하며 운동의 방향과는 무관한 값을 갖는다.

 

따라서

 

 

 

의 식은 운동에너지의 변화량을 의미함을 알 수 있다.

즉, 입자에 작용하는 알짜힘이 한 일은 그 입자의 운동 에너지 변화와 같다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

이 결과를 일-에너지 정리(work-energy theorem)라고 한다.

위 식으로부터 일이 양의 값을 가질 때, 운동 에너지는 증가하며 입자의 나중 속력은 처음 속력보다 큰 값을 가지게 된다. 일이 음의 값을 가질 때, 운동 에너지는 감소하며 입자의 나중 속력은 처음 속력보다 작은 값을 가지게 된다. 일이 0의 값을 가질 때, 운동 에너지는 나중과 처음이 같은 값을 가지며, 속력은 변하지 않는다.

일-에너지 정리에서는 운동 에너지가 스칼라이기 때문에, 속도에 대해서는 알 수 없으며 오직 속력의 변화에 대해서만 알 수 있다.

 

일-에너지 정리를 유도하는 데에 뉴턴의 제 2법칙을 활용하였으므로, 일-에너지 정리는 관성 기준계에서만 적용할 수 있다. 또한 물체의 변위와 속력은 기준계에 따라서 다른 값을 갖기 때문에, 일-에너지 정리의 W와 K값은 관성 기준계에 따라 달라진다.

 

 

물체가 정지상태에 있다 운동하는 경우에서 일-에너지 정리를 적용하며 보면, K₁는 0의 값을 갖는다. 따라서 W = K – 0 = K와 같으며. 이는, 입자의 운동 에너지는 정지상태에서부터 현재의 속력까지 가속 시키기 위하여 입자에 한 총 일과 같다는 의미이다.

 

또한, 입자의 운동 에너지는 입자가 정지하기 전까지의 전 과정에서 할 수 있는 총 일과 같은 값을 갖는다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 변하는 힘에 대한 일과 에너지

물체에 크기가 변하는 힘이 가해지는 경우, 물체가 곡선 경로상에서 운동하여 힘의 방향이 변하는 경우와 같이 힘의 크기와 방향이 변화하는 경우의 운동에 대해 생각해 본다.

먼저, x축을 따라 직선 운동하는 물체에 힘의 x 성분이 변하는 경우에 대해서 생각한다.

 

 

 

그림의 F-x 그래프에서 물체에 가한 일은, 처음 위치와 나중 위치 사이에서 곡선 면적의 값과 같으므로, 그래프의 전체 변위를 미소 변위로 나누어 그 값을 계산한다.

 

 

따라서 그래프의 면적은 근사적으로 다음과 같다.

 

 

변위를 나눈 개수가 무한히 많아질 때, 그래프의 면적은 적분을 사용하여 나타낼 수 있다.

 

 

 

위 식에 뉴턴의 제 2법칙을 적용해본다.

 

 

 

 

 

 

이때, 

 

의 방정식에 미적분의 연쇄법칙을 활용한 식

 

 

을 대입한다.

 

 

 

위 식을 적분하여 일을 계산하면,

 

 

을 얻는다.

즉, 일-에너지 정리는 변화하는 힘에 대해서도 성립한다는 사실을 알 수 있다.

 

 

 

 

물체에 가해지는 힘 F가 더 큰 차원으로 확장되어도 위와 같은 정적분을 똑같이 적용할 수 있다.

예를 들어, 힘 F는 다음과 같은 3차원 힘

 

 

 

일 때, 미소 변위는 위치벡터를 활용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

이므로 미소 변위 동안 물체에 한 일의 증가 dW는

 

이다. 총 일을 정적분을 활용하여 표기하면,

 

 

와 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

 

마지막으로 힘의 크기뿐만 아니라 방향이 변하는 경우의 일에 대해서 생각해본다.

 

 

그림과 같이 어떤 입자가 곡선상의 점 P₁에서 P₂로 이동하는 경우를 생각해보자.

이 두 점 사이의 곡선 부분을 무한소(infinitesimal) 변위 벡터로 나누고, 각각의 영역에서의 접선 벡터를 생각해본다.

경로상의 임의의 한 점에서의 힘을 F라 하고, 그 점에서의 F와 접선 벡터의 각도를 φ라고 하면, 무한소 변위 동안의 입자에 가한 일 W는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

즉,

 

 

 

이며, 이러한 적분을 선적분(line integral)이라 한다.

 

힘의 방향과 크기가 모두 변화하는 경우에도 일-에너지 정리는 유효하다.

경로상의 무한소 변위 동안 작용하는 힘은 일정하다고 할 수 있으므로, 해당 무한소 변위에서는 직선 운동에 대한 일-에너지 정리를 적용할 수 있다.

 

따라서, 이 무한소 변위에서 운동 에너지의 변화는 입자에 한 일은

 

 

와 같다.

 

이 무한소 변위에서의 일을 모두 더하면 전체 경로에서의 일에 대한 식을 구할 수 있으며, 이는 전체 경로에서 운동 에너지의 변화와 같다. 왜냐하면 경로에 평행한 성분만이 일을 하고, 경로에 수직인 힘의 성분은 입자에 속력에는 영향을 미치지 않고, 입자의 방향을 바꾸는 데에만 영향을 미치기 때문이다.  곧, W = K₂ - K₁은 경로나 힘의 특성과 관계없이 일반적으로 성립한다.

 

 

 

 

 

 

 

# 일률

힘이 한 일의 시간 변화율을 일률(power, P)이라 한다. 시간 간격 ⧍t 동안에 힘이 W의 일을 한다면 평균 일률은 다음과 같이 정의한다.

 

 

 

 

또한 순간 일률 P는 힘이 한 일의 순간변화율로 다음과 같이 정의한다.

 

 

 

일의 SI 단위는 와트(watt)이며 W로 표시한다. 1와트는 초당 1줄과 같다. 곧, 1W = 1J/s 이다.

1킬로와트시(kW⦁h)는 일률이 1kW일 때, 1시간 동안 한 전체 일에 해당하는 단위이다.

즉, 1kW⦁h = (1000J/s)(3600s) = 3.6 × 10⁶ J 이다. 킬로와트시는 일이나 에너지의 단위로 사용되며, 일률과 혼동해서는 안 된다.

 

또한, 일률은 힘과 속도로 나타낼 수 있는데 물체가 벡터 변위 s만큼 움직이는 동안 물체에 힘 F가 작용하는 경우를 가정한다. 이 힘이 물체에 가한 일은, 힘의 접선 방향과 변위의 곱과 같으며, 이를 사용하여 평균 일률을 나타내면 다음과 같다.

 

 

 

위의 식에서 시간 간격 ⧍t를 0으로 근사시키면 다음과 같다.

 

 

 

이는 스칼라곱을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

 

참고문헌 : Young and Freedman, 대학물리학 12th ed, Haliday 일반 물리학 9th ed