[고전역학 | Mechanics] 04. 뉴턴의 운동 법칙

뉴턴이 발표한 힘과 가속도의 관계를 연구하는 분야를 뉴턴(Newton) 역학이라 부른다. 여기서 세 가지 운동 법칙을 다루게 된다. 뉴턴 역학을 통해 물체의 운동을 설명할 수 있다. 그러나 상호작용하는 물체들의 속도가 광속에 가까운 경우, 뉴턴 역학 대신 아인슈타인의 특수 상대성이론을 적용하여야 하며, 원자 크기의 영역에서 상호작용하는 물체들의 경우 양자역학을 적용해야 한다.

 

 

 

 

 

# 힘과 상호작용

힘이 물체 사이에서 직접 접촉하여 작용하는 경우를 접촉력(contact force)이라 한다.

일상적으로 작용하는 접촉력에는 수직 항력, 마찰력, 장력이 있다.

수직 항력(normal force, n)이란 물체가 표면 위에 정지해 있거나 표면을 누르고 있을 때 표면이 물체에 수직인 방향으로 물체를 미는 힘을 말하며, 수직 항력은 면의 각도와는 관계없이 항상 접촉면에서 수직으로 작용한다.

마찰력(friction force, f)은 표면에서 물체로 평행한 방향으로 작용하는데, 마찰력은 물체가 미끄러지는 방향과 반대 방향으로 작용한다.

물체가 팽팽한 줄이나 끈에 매달려 있을 때 줄이나 끈이 물체에 작용하는 힘을 장력(tension force, T)이라 한다.

 

반면, 힘이 분리된 물체 사이에서 작용하는 경우를 원거리 힘(long-range force)라 한다. 두 자석 사이에서 작용하는 힘이나 중력이 원거리 힘에 해당한다. 중력의 경우, 물체와 직접적인 접촉이 없는 경우에도 물체를 지구 방향으로 당긴다. 지구가 사람의 몸에 작용하는 중력을 무게(weight, w)라 한다.

 

힘의 벡터를 기술하기 위해서는 힘의 크기 뿐만 아니라 힘의 방향도 명시해야 한다. 힘의 크기에 대한 SI 단위는 뉴턴(newton), N을 사용한다.

 

 

두 개의 힘이 물체의 한 점에 동시에 작용할 때, 이들 힘이 물체의 운동에 미치는 영향은 두 힘의 벡터 합으로 주어지는 하나의 합력이 한 점에 작용하는 것과 같다. 즉, 물체의 한 점에 작용하는 힘들의 영향은 그 힘들의 벡터 합과 같은 하나의 힘이 작용하는 것과 동등하다. 이를 중첩의 원리라고 한다.

중첩원리를 통해 물체에 작용하는 알짜 힘(net force)은 모든 힘의 벡터 합을 이용하여 구할 수 있다.

 

 

이며 이는 두 개의 성분에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

 

 

이로부터 물체에 작용하는 알짜 힘의 크기와 방향을 계산할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 뉴턴의 제 1법칙

물체에 작용하는 알짜 힘이 0일 때, 그 물체는 가속되지 않고 일정한 속도로 움직이거나 정지한다.

어떤 물체가 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이는 경우, 그 물체는 평형(equilibrium) 상태에 있다고 한다. 즉, 물체가 평형 상태에 있으려면 그 물체에는 어떠한 알짜 힘도 작용하고 있지 않아야 하며 그 물체에 작용하는 힘들의 벡터 합이 0이 되어야 한다.

 

위 조건을 만족하려면, 알짜 힘의 각 성분이 0이 되어야 한다.

 

 

뉴턴의 제 1법칙이 모든 기준틀에 대해서 성립하지는 않지만, 뉴턴의 제1 법칙이 적용되는 기준틀을 관성 기준틀(inertial frame of reference) 또는 관성틀이라 부른다. 관성(inertia)이란 한번 운동을 시작한 물체가 그 운동을 계속해서 유지하려는 성질을 말한다. 제 1법칙은 관성 기준계를 정의하는 법칙이기도 하므로, 이 법칙을 관성의 법칙이라 부르기도 한다. 만약 가속하는 차 안에서 물체의 운동을 측정한다면 이는 비관성틀에서의 측정이므로 그 결과는 관성틀에서의 측정과는 다를 것이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 뉴턴의 제 2법칙

물체에 작용하는 알짜 힘이 0이 아닌 경우 물체에 작용하는 알짜 힘은 물체가 알짜 힘과 같은 방향으로 가속하도록 한다. 또한 알짜 힘의 크기를 변화시키면 가속도도 같은 비율로 변화하게 된다. 실험을 통해 어떤 물체에서 가속도의 크기는 그 물체에 작용하는 알짜 힘의 크기에 직접적으로 비례한다는 사실을 알 수 있다. 이는 어떤 물체에 있어서 가속도의 크기에 대한 알짜 힘의 크기의 비는 알짜 힘의 크기와 관계없이 항상 일정하다는 것을 의미한다.

 

 

이 비를 관성 질량 또는 물체의 질량(mass)라 한다. 질량의 SI 단위는 킬로그램(kilogram)을 사용한다. 이 표준 킬로그램을 이용하여 뉴턴을 정의할 수 있다. 따라서, 1 뉴턴은 질량이 1 킬로그램인 물체에 제곱 초당 1 미터의 가속을 일으키는 힘의 크기임을 알 수 있다.

 

 

같은 힘이 서로 다른 물체에 작용하는 경우, 각 물체는 서로 다른 가속도로 움직이는 것을 확인할 수 있다. 질량 m₁인 물체에 일정한 힘 F를 가했을 때 그 물체의 가속도를 a₁라 하고, 같은 힘 F를 질량 m₂인 물체에 가했을 때의 가속도를 a₂라 하자.

F=ma로부터 m₁a₁=m₂a₂, m₂/m₁=a₁/a₂의 관계식을 얻을 수 있다. 즉, 동일한 알짜 힘에 대해서 두 물체의 질량비는 가속도의 비에 반비례한다. 이로부터 뉴턴의 제 2법칙은 다음과 같다.

물체에 외부 알짜 힘이 작용할 때 그 물체는 가속되며, 가속도의 방향은 알짜 힘의 방향과 같고, 알짜 힘 벡터는 물체의 질량과 가속도의 곱과 같다.

 

 

위 방정식도 다른 벡터 방정식들과 마찬가지로 x, y, z 좌표계의 세 성분으로 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 뉴턴의 제 3법칙

물체 A가 B에 힘을 가하면(작용), 물체 B도 A에 힘을 가하게 된다(반작용). 이 두 힘의 크기는 같고 방향은 서로 반대이다. 이 두 힘은 서로 다른 물체에 작용하는 힘이다.

 

 

뉴턴의 제 3법칙은 중력과 같이 물리적인 접촉이 없는 원거리 힘에도 적용된다.

 

예를 들어 탁구공은 지구에 대해 위쪽 방향으로 중력을 미치는데, 이는 지구가 탁구공을 아래 방향으로 당기는 중력과 크기가 같다. 공이 떨어질 때 공과 지구는 서로를 향하여 가속된다. 서로에 대한 알짜힘의 크기는 같지만, 지구의 질량이 굉장히 크기 때문에 지구의 가속도는 매우 작다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 여러가지 힘

-중력

물체에 작용하는 중력은 제 2의 다른 물체로 향하여 끌리는 힘을 말한다. 주로 지구를 관성틀이라 가정하고, 제 2물체를 지구로 설정하여 중력을 정의한다.

질량 m의 물체가 일정한 크기의 가속도 g로 자유낙하할 때, 공기의 저항을 무시한다면 물체에 작용하는 힘은 중력만 존재한다. 여기서 물체의 경로를 y축으로 설정하고 양의 방향을 위쪽으로 가정한다. 그 다음 뉴턴의 제2법칙을 적용하면 –F=m(-g) 이므로 F=mg이다.

여기서 중력은 질량과 중력가속도의 곱 mg이다. 물체가 자유낙하를 하지 않더라도 물체에는 중력이 작용한다.

중력에 대한 뉴턴의 제2법칙을 벡터식으로 표기하면 다음과 같다.

 

 

 

 

 

-무게

물체의 무게는 물체가 자유낙하 하지 않도록 물체에 작용하는 알짜힘으로, 지상에서 측정한 값이다.

예를 들어, 관성틀 안에서 지면에 대한 가속도가 0인 물체를 생각해보자. 이러한 경우, 아래로 향하는 중력과 균형을 이루는 W라는 힘이 물체에 작용하고 있다. 위쪽을 +y방향이라 가정하면 뉴턴 제 2법칙에 의해 힘의 y성분은 다음과 같다.

 

 

즉,

 

에서 다음과 같다.

 

 

 

 

 

- 수직항력

 

책상 위에 놓인 질량 m인 토막은 중력을 받기 때문에 책상 면이 변형될 것이다. 이때 책상은 물체를 수직력 N으로 밀어올린다. 토막에는 중력과, 수직력의 두 가지의 힘만 작용하고 있으며, 뉴턴 제 2법칙에 의해 힘의 y성분은 다음과 같다.

 

따라서,

 

 

이다.

 

 

 

 

- 마찰력

 

바닥에서 물체를 밀거나, 밀려고 할 때 물체와 바닥과의 접촉에 의해 저항을 받는 것을 알 수 있다. 이러한 저항을 마찰력 또는 마찰이라 한다. 마찰은 물체가 움직이려는 방향과 반대 방향으로, 바닥면에 평행하게 작용한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

- 장력

 

 

물체에 연결된 줄을 팽팽히 잡아장기면, 줄은 물체에서 멀어지려는 방향으로 줄을 따라 힘 T로 물체를 잡아당긴다. 이때, 줄이 팽팽히 당겨진 긴장상태에 있으며 이러한 힘을 장력이라고 한다. 줄의 양 끝의 힘은 같은 크기를 갖으며, 줄의 질량과 도르래의 마찰과 질량은 무시한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 자유 물체 도형

자유 물체 도형(free body diagram)이란 물체의 주위 환경에 관계없이 선택된 물체 자체만을 나타내는 그림으로 상호작용하는 여러 다른 물체들이 그 물체에 작용하는 모든 힘들의 크기와 방향을 벡터 표시로 나타낸 그림을 말한다.

자유 물체 도형을 사용하고자 할 때는 물체에 가해지는 모든 힘들을 고려해야 하고, 동시에 그 물체가 다른 물체에 작용하는 어떠한 힘도 포함해서는 안된다. 특히, 작용-반작용 쌍의 두 힘은 같은 물체에 작용하는 힘이 아니므로 자유 물체 도형에 동시에 나타나서는 안된다. 또한, 물체가 자기 스스로에게 작용하는 힘들은 운동에 영향을 미치지 않기 때문에 포함해서는 안된다.

 

뉴턴의 세 가지 운동 법칙을 활용하여 여러가지 다양한 역학 문제를 풀기 위해서,

1. 특정 물체에 대해 뉴턴의 제 1법칙(평형 상태), 2법칙(비평형 상태)을 적용한다.

2. 물체에 작용하는 힘들만 고려한다. 분석 대상인 물체를 선택한 다음 해당 물체에 작용하는 모든 힘들을 찾고, 그 알짜힘을 구하여야 한다.

3. 관련된 힘들을 식별하는 데에 자유 물체 도형을 활용한다. 하나 이상의 물체가 포함된 문제에서는 물체를 각각 구분해 각각의 물체에 대한 자유 물체 도형을 그려야 한다. 

 

 

 

 

 

참고문헌 : Young and Freedman, 대학물리학 12th ed, Haliday 일반 물리학 9th ed