[고전역학 | Mechanics] 03. 2차원 및 3차원 운동

 

 

# 위치와 변위

2차원과 3차원에서의 운동을 기술하기 위해 위치벡터를 이용한다. 위치벡터는 기준점에서 입자까지의 위치를 나타내는 벡터로 단위벡터를 이용하여 다음과 같이 표기한다.

시간 간격 ⧍t 동안에 위치벡터가 r₁인 점 P₁에서 위치벡터가 r₂인 점 P₂까지 입자가 움직인다. 이 시간 간격 동안 위치의 변화(변위)는

 

이다.

 

 

 

 

 

# 평균 속도와 순간속도

입자의 평균 속도(average velocity)는 입자의 변위와 시간 간격의 비율로 나타낼 수 있으며, 수식은 다음과 같다.

 

좌변의 방향은 우변의 방향과 같아야 한다. 앞의 위치벡터 정의로부터 해당 식을 다음과 같이 벡터 성분으로 표기할 수 있다.

이때, 시간 간격 ⧍t가 0에 접근할 때를 순간속도(instantaneous velocity)라 정의한다. 이를 극한을 이용한 수직으로 나타내면 다음과 같다.

 

어느 지점의 순간속도 벡터의 크기는 그 지점의 입자의 속력과 같다. 그리고 그 지점의 벡터의 방향은 그 순간에 입자가 움직이는 방향과 같다.

 

 

위 그래프에서 ⧍t가 0에 가까워질수록 점 P₁과 P₂는 서로 점점 가까워진다. 이러한 극한의 경우 변위벡터는 경로의 접선 방향을 가리킨다. 또한 이런 극한의 경우 변위벡터의 방향은 순간 속도벡터의 방향과 같다.

이로부터 경로상의 모든 점에서의 순간속도 벡터는 각 점에서의 경로에 접한다는 사실을 알 수 있다.

 

 

 

또한, 순간속도 벡터는 위치벡터의 미분이므로

 

이며, 다음과 같이 단위벡터로 표기할 수 있다.

 

 

따라서 속도벡터의 스칼라 성분들은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

순간속도 벡터의 크기인 속력은 피타고라스 정리에 의해 다음과 같이 주어진다.

 

 

 

xy- 평면에서 운동하는 2차원 운동의 경우, 다음과 같이 표시할 수 있다.

 

 

 

 

이때, 순간 속도의 방향은 다음과 같다.

 

 

 

 

 

 

 

# 가속도 벡터

입자의 평균 가속도(average acceleration)는 입자의 변위와 시간 간격의 비율로 나타낼 수 있으며, 수식은 다음과 같다.

 

평균 가속도 벡터는 순간 속도 벡터와 같은 방향을 가지는 벡터이다.

 

 

 

이때, 점 P₂가 점 P₁에 무한히 접근하고, 순간속도와 시간 간격 ⧍t가 0에 근사할 때, 평균 가속도는 순간가속도(instantaneous acceleration)로 근사한다. 즉, 다음과 같다.

 

 

 

 

 

 

입자가 운동하는 경로가 곡선인 경우, 입자의 순간가속도 벡터는 항상 곡선 경로의 오목한 쪽을 향한다. 곧, 회전의 안쪽을 향하게 된다.

공간에서 입자가 운동할 때, 속도의 크기나 방향이 변하면 입자는 항상 가속도를 갖는다. 가속도 벡터는 속도 벡터의 미분이므로

 

 

이고, 다음과 같이 표기할 수 있다.

 

 

여기서 순간가속도 벡터의 스칼라 성분은 다음과 같다.

 

 

속도는 변위의 미분이므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

공간에서 운동하는 입자의 경우, 가속도를 사용하여 속도의 크기 변화와 속도의 방향 변화를 나타낼 수 있다.

입자의 경로에 평행한 가속도 성분, 곧 속도에 나란한 성분은 속력의 변화를 나타내며, 입자의 경로에 수직인 가속도 성분, 곧 속도에 수직인 성분은 운동 방향의 변화를 나타낸다.

 

 

 

일반적으로, 입자의 가속도 벡터는 속도의 평행인 성분과 수직인 성분을 모두 갖는다. 그러면 평행인 성분에 의해 입자의 속력이 변하고, 수직인 성분에 의해 운동 방향도 변하므로 입자는 굽은 경로를 따라가게 된다.

 

 

 

 

 

 

 

 

# 포물체 운동

 

 

포물체(projectile)란 초기 속도가 주어지고, 그 이후의 경로는 중력 가속도와 공기 저항의 영향만으로 결정되는 물체를 일컫는다. 포물체가 지나간 경로는 궤적(trajectory)이라 한다.

공기 저항과 지구의 곡률 및 자전에 의한 영향을 무시한 이상적인 포물체 운동을 가정해보자.

 

포물체 운동은 2차원 공간상에서 일정한 속력을 갖는 수평운동과 일정한 가속도를 갖는 수직 운동의 조합으로 생각할 수 있다. 수식으로 표현하면, 포물체 운동 시 가속도 벡터의 성분은 다음과 같다.

 

 

 

 

 

적분을 활용하여 가속도 벡터의 성분으로부터 속도 성분을 나타낼 수 있다.

 

 

같은 방법으로 속도 벡터의 성분으로부터 위치벡터의 성분을 나타낼 수 있다.

 

 

 

이때, 처음 속도를 속력 v₀와 속도가 x축과 이루는 각 α₀ 으로 나타낼 수 있다.

 

 

 

이들 관계식과 x₀ = y₀ = 0을 사용하면 다음과 같이 포물체 운동에 대한 방정식을 나타낼 수 있다.

 

 

 

이러한 방정식으로부터 임의의 시간에 원점에서 포물체까지의 거리는 다음과 같다.

 

 

임의의 시간에 포물체의 속력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

 

속도의 방향을 +x 축과 이루는 각 α로 표현하면 다음과 같다.

 

 

위의 x, y에 관한 식에서 시간 t를 소거하여 x와 y로 포물선 모양을 나타내는 방정식을 유도할 수 있다.

 

 

 

위 식을 경로 방정식이라 한다. 이는 y = bx–cx² 의 형태이고, 이때 b와 c는 상수이다. 즉, 이상적인 경우의 포물체 운동의 궤적은 항상 포물선을 그린다.

 

 

또한 포물체가 움직인 수평거리 R를 계산하기 위해서

 

 

 

로 두고, t를 소거하면

 

 

을 얻는다. 그러나 이 식은 최종 높이가 초기 발사 높이가 아닌 경우의 발사체의 수평 도달거리를 계산할 수 없다.

2α₀가 90도 즉, α₀가 45도 인 경우에 수평 도달거리는 최댓값을 갖는다.

 

 

 

 

 

 

# 등속원운동

입자가 원둘레 또는 원호를 따라 일정한 속력으로 움직일 때를 등속원운동이라 한다. 등속원운동의 경우, 경로에 평행한 가속도 성분은 없으며 경로에 수직인 가속도 벡터는 원의 중심을 향한다. 

 

 

 

 

중심이 O이고 반지름이 R인 원 궤도에서 일정한 속력으로 운동하는 한 입자는 ⧍t 시간 동안 P₁에서 P₂로 움직인다. 이 간 동안의 속도 변화는 다음과 같다.

 

 

 

삼각형 닮음비의 성질에 따라,

 

이다. 따라서 ⧍t 시간 동안의 평균 가속도는 아래와 같다.

 

 

 

점 P₁에서 순간가속도의 크기는 점 P₂가 점 P₁에 접근할 때의 평균 가속도의 극한이므로

 

 

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 ⧍s/⧍t의 극한은 점 P₁에서의 v₁ 이므로,

 

 

 

이다. 등속원운동에서 순간가속도의 방향은 항상 원의 반지름을 따라 원의 중심을 향하며 이를 구심가속도(centripetal acceleration)라 한다.

 

다른 방법으로도 구심가속도 식을 증명할 수 있다.

 

 

위 그림에서 입자 p는 반지름 r인 원을 따라 등속력 v로 운동한다.  이를 수식으로 표현하면,

 

와 같다. 위 그림의 직각삼각형에서

 

와 같으므로

 

 

로 나타낼 수 있다. 입자 p의 가속도 벡터를 나타내기 위해서 위 식을 시간에 대해 미분한다. 속력 v와 반지름 r은 시간에 따라 변하지 않는 값이므로,

 

 

와 같다. 이때,

 

 

이므로

 

 

이다. 따라서, 가속도의 크기는

 

 

와 같다. 방향은 위 그림에서의 각도 φ에 해당하며,

 

 

 

이다. 즉, θ=φ이므로 가속도 벡터의 방향이 그림의 반지름 r을 따라 항상 원의 중심을 향한다는 것을 증명할 수 있다.

등속원운동에서 가속도의 크기를 원을 완전히 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간인 주기(period) T로 나타낼 수 있다. 시간 T 동안에 입자는 원주 2πR을 이동하므로, 속력은

 

이다. 이를 구심가속도 식에 대입하면,

 

 

이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# 비등속 원운동

입자가 원둘레 또는 원호를 따라 운동할 때, 속력이 변한다면 이를 비등속 원운동(nonuniform circular motion)이라 한다. 비등속 운동에서도 구심가속도는 v²/R이며 항상 순간 속도에 수직이고 원의 중심을 향한다. 그러나 각 점에서의 속력 v가 다르므로 구심가속도의 값은 변하게 되며, 속력이 최대인 곳에서 구심가속도의 값은 최대가 된다.

비등속 원운동에서는 순간속도에 평행한 가속도 성분이 존재하며, 이는 원의 접선 방향으로 작용한다. 가속도 접선 성분은 속력의 변화율과 같으므로 dv/dt와 같이 나타낼 수 있다.

즉,

 

 

이다. 비등속 원운동하는 입자의 가속도 벡터는 가속도의 지름 성분과 접선 성분의 벡터 합과 같다.

 

 

 

 

<등속원운동>

 

 

 

<비등속 원운동>

 

 

 

 

 

 

 

 

# 1차원 상대운동

운동하는 한 입자의 속도는 입자를 관찰하거나 측정하는 기준틀에 따라 다른 값을 갖는다. 기준틀(frame of reference)이란 좌표계를 부여한 물리적인 대상을 말하며, 공간좌표와 시간좌표로 구성된다.

예를 들어 기준틀 A의 원점에 위치한 관찰자가 빠른 속도로 지나가는 한 입자 P를 관찰하고 있고, 기준틀 B의 원점에 위치한 또 다른 관찰자는 일정한 속력으로 운동하면서 P를 관찰하여 주어진 순간의 P의 위치를 측정한다.

 

이러한 경우,

 

 

임을 알 수 있으며, 위 식은 “A가 측정한 P의 좌표는 B가 측정한 P의 좌표와 A가 측정한 B의 좌표의 합”을 의미하며, 아래첨자의 순서에 유의하여야 하며, 관찰하는 대상, 관찰자 순으로 기입하여야 한다.

위 식에서 양변을 시간에 대해 미분하면,

 

 

 

 

와 같다. 위 식은 “A가 측정한 P의 속도는 B가 측정한 P의 속도와 A가 측정한 B의 속도의 합”을 의미한다.

위 식의 양변을 한번 더 시간에 대해 미분하면,

 

 

이고, 이때 A가 측정한 B의 속도는 항상 일정하므로 0이 된다. 즉,

 

 

와 같다. 이를 통해 상대적으로 등속도 운동하는 다른 기준틀의 관측자들이 측정한 운동하는 입자의 가속도는 같음을 알 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

# 2차원 상대운동

1차원에서의 상대운동에 대한 개념을 위치벡터의 합을 이용하여 2차원에서의 상대운동으로 확장할 수 있다.

앞의 예시에서와 같은 상황을 가정한다. 기준틀 B가 기준틀 A에 대해 상대적인 등속도로 운동하고, 기준틀 A와 기준틀 B의 원점에서 두 관측자가 움직이는 입자 P를 바라보고 있을 때, 세 벡터의 관계는 이들 세 벡터를 적절히 연결하여 나타낼 수 있다.

 

 

와 같이 나타낼 수 있으며, 위 식을 미분하여 속도와 가속도에 대한 수식으로도 나타낼 수 있다.

 

 

 

위 식은 갈릴레이 속도 변환이라고도 하며, 이를 다시 시간에 대해 미분한다. 이때, 기준틀 A에서 관측한 B의 속도는 일정한 상수이므로,

 

 

 

와 같다.

따라서 1차원 상대운동과 마찬가지로 2차원 상대운동에서도 상대적으로 등속도 운동하는 다른 기준틀의 관측자들이 측정한 운동하는 입자의 가속도는 같음을 알 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

참고문헌 : Young and Freedman, 대학물리학 12th ed, Haliday 일반 물리학 9th ed